3.158 \(\int \frac{(a+a \sec (e+f x))^{3/2}}{(c+d \sec (e+f x))^2} \, dx\)

Optimal. Leaf size=229 \[ \frac{a^{5/2} \left (c^2-3 c d-2 d^2\right ) \tan (e+f x) \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{d} \sqrt{a-a \sec (e+f x)}}{\sqrt{a} \sqrt{c+d}}\right )}{c^2 \sqrt{d} f (c+d)^{3/2} \sqrt{a-a \sec (e+f x)} \sqrt{a \sec (e+f x)+a}}+\frac{2 a^{5/2} \tan (e+f x) \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a-a \sec (e+f x)}}{\sqrt{a}}\right )}{c^2 f \sqrt{a-a \sec (e+f x)} \sqrt{a \sec (e+f x)+a}}+\frac{a^2 (c-d) \tan (e+f x)}{c f (c+d) \sqrt{a \sec (e+f x)+a} (c+d \sec (e+f x))} \]

[Out]

(2*a^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]/Sqrt[a]]*Tan[e + f*x])/(c^2*f*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*
Sec[e + f*x]]) + (a^(5/2)*(c^2 - 3*c*d - 2*d^2)*ArcTanh[(Sqrt[d]*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[c + d
])]*Tan[e + f*x])/(c^2*Sqrt[d]*(c + d)^(3/2)*f*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) + (a^2*(c -
d)*Tan[e + f*x])/(c*(c + d)*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*(c + d*Sec[e + f*x]))

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.24894, antiderivative size = 229, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 7, number of rules used = 6, integrand size = 27, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.222, Rules used = {3940, 151, 156, 63, 206, 208} \[ \frac{a^{5/2} \left (c^2-3 c d-2 d^2\right ) \tan (e+f x) \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{d} \sqrt{a-a \sec (e+f x)}}{\sqrt{a} \sqrt{c+d}}\right )}{c^2 \sqrt{d} f (c+d)^{3/2} \sqrt{a-a \sec (e+f x)} \sqrt{a \sec (e+f x)+a}}+\frac{2 a^{5/2} \tan (e+f x) \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a-a \sec (e+f x)}}{\sqrt{a}}\right )}{c^2 f \sqrt{a-a \sec (e+f x)} \sqrt{a \sec (e+f x)+a}}+\frac{a^2 (c-d) \tan (e+f x)}{c f (c+d) \sqrt{a \sec (e+f x)+a} (c+d \sec (e+f x))} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[(a + a*Sec[e + f*x])^(3/2)/(c + d*Sec[e + f*x])^2,x]

[Out]

(2*a^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]/Sqrt[a]]*Tan[e + f*x])/(c^2*f*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*
Sec[e + f*x]]) + (a^(5/2)*(c^2 - 3*c*d - 2*d^2)*ArcTanh[(Sqrt[d]*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]])/(Sqrt[a]*Sqrt[c + d
])]*Tan[e + f*x])/(c^2*Sqrt[d]*(c + d)^(3/2)*f*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]) + (a^2*(c -
d)*Tan[e + f*x])/(c*(c + d)*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*(c + d*Sec[e + f*x]))

Rule 3940

Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_.)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.) + (c_))^(n_.), x_Symbol] :> Di
st[(a^2*Cot[e + f*x])/(f*Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]]*Sqrt[a - b*Csc[e + f*x]]), Subst[Int[((a + b*x)^(m - 1/2)*(c
+ d*x)^n)/(x*Sqrt[a - b*x]), x], x, Csc[e + f*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n}, x] && NeQ[b*c - a*d,
0] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0] && IntegerQ[m - 1/2]

Rule 151

Int[((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(p_)*((g_.) + (h_.)*(x_)), x_Symb
ol] :> Simp[((b*g - a*h)*(a + b*x)^(m + 1)*(c + d*x)^(n + 1)*(e + f*x)^(p + 1))/((m + 1)*(b*c - a*d)*(b*e - a*
f)), x] + Dist[1/((m + 1)*(b*c - a*d)*(b*e - a*f)), Int[(a + b*x)^(m + 1)*(c + d*x)^n*(e + f*x)^p*Simp[(a*d*f*
g - b*(d*e + c*f)*g + b*c*e*h)*(m + 1) - (b*g - a*h)*(d*e*(n + 1) + c*f*(p + 1)) - d*f*(b*g - a*h)*(m + n + p
+ 3)*x, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, h, n, p}, x] && LtQ[m, -1] && IntegerQ[m]

Rule 156

Int[(((e_.) + (f_.)*(x_))^(p_)*((g_.) + (h_.)*(x_)))/(((a_.) + (b_.)*(x_))*((c_.) + (d_.)*(x_))), x_Symbol] :>
Dist[(b*g - a*h)/(b*c - a*d), Int[(e + f*x)^p/(a + b*x), x], x] - Dist[(d*g - c*h)/(b*c - a*d), Int[(e + f*x)
^p/(c + d*x), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, h}, x]

Rule 63

Int[((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_), x_Symbol] :> With[{p = Denominator[m]}, Dist[p/b, Sub
st[Int[x^(p*(m + 1) - 1)*(c - (a*d)/b + (d*x^p)/b)^n, x], x, (a + b*x)^(1/p)], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] &
& NeQ[b*c - a*d, 0] && LtQ[-1, m, 0] && LeQ[-1, n, 0] && LeQ[Denominator[n], Denominator[m]] && IntLinearQ[a,
b, c, d, m, n, x]

Rule 206

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(1*ArcTanh[(Rt[-b, 2]*x)/Rt[a, 2]])/(Rt[a, 2]*Rt[-b, 2]), x]
/; FreeQ[{a, b}, x] && NegQ[a/b] && (GtQ[a, 0] || LtQ[b, 0])

Rule 208

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(Rt[-(a/b), 2]*ArcTanh[x/Rt[-(a/b), 2]])/a, x] /; FreeQ[{a,
b}, x] && NegQ[a/b]

Rubi steps

\begin{align*} \int \frac{(a+a \sec (e+f x))^{3/2}}{(c+d \sec (e+f x))^2} \, dx &=-\frac{\left (a^2 \tan (e+f x)\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{a+a x}{x \sqrt{a-a x} (c+d x)^2} \, dx,x,\sec (e+f x)\right )}{f \sqrt{a-a \sec (e+f x)} \sqrt{a+a \sec (e+f x)}}\\ &=\frac{a^2 (c-d) \tan (e+f x)}{c (c+d) f \sqrt{a+a \sec (e+f x)} (c+d \sec (e+f x))}-\frac{(a \tan (e+f x)) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{a^2 (c+d)+\frac{1}{2} a^2 (c-d) x}{x \sqrt{a-a x} (c+d x)} \, dx,x,\sec (e+f x)\right )}{c (c+d) f \sqrt{a-a \sec (e+f x)} \sqrt{a+a \sec (e+f x)}}\\ &=\frac{a^2 (c-d) \tan (e+f x)}{c (c+d) f \sqrt{a+a \sec (e+f x)} (c+d \sec (e+f x))}-\frac{\left (a^3 \tan (e+f x)\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{x \sqrt{a-a x}} \, dx,x,\sec (e+f x)\right )}{c^2 f \sqrt{a-a \sec (e+f x)} \sqrt{a+a \sec (e+f x)}}-\frac{\left (a^3 \left (c^2-3 c d-2 d^2\right ) \tan (e+f x)\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{\sqrt{a-a x} (c+d x)} \, dx,x,\sec (e+f x)\right )}{2 c^2 (c+d) f \sqrt{a-a \sec (e+f x)} \sqrt{a+a \sec (e+f x)}}\\ &=\frac{a^2 (c-d) \tan (e+f x)}{c (c+d) f \sqrt{a+a \sec (e+f x)} (c+d \sec (e+f x))}+\frac{\left (2 a^2 \tan (e+f x)\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{1-\frac{x^2}{a}} \, dx,x,\sqrt{a-a \sec (e+f x)}\right )}{c^2 f \sqrt{a-a \sec (e+f x)} \sqrt{a+a \sec (e+f x)}}+\frac{\left (a^2 \left (c^2-3 c d-2 d^2\right ) \tan (e+f x)\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{c+d-\frac{d x^2}{a}} \, dx,x,\sqrt{a-a \sec (e+f x)}\right )}{c^2 (c+d) f \sqrt{a-a \sec (e+f x)} \sqrt{a+a \sec (e+f x)}}\\ &=\frac{2 a^{5/2} \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a-a \sec (e+f x)}}{\sqrt{a}}\right ) \tan (e+f x)}{c^2 f \sqrt{a-a \sec (e+f x)} \sqrt{a+a \sec (e+f x)}}+\frac{a^{5/2} \left (c^2-3 c d-2 d^2\right ) \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{d} \sqrt{a-a \sec (e+f x)}}{\sqrt{a} \sqrt{c+d}}\right ) \tan (e+f x)}{c^2 \sqrt{d} (c+d)^{3/2} f \sqrt{a-a \sec (e+f x)} \sqrt{a+a \sec (e+f x)}}+\frac{a^2 (c-d) \tan (e+f x)}{c (c+d) f \sqrt{a+a \sec (e+f x)} (c+d \sec (e+f x))}\\ \end{align*}

Mathematica [C]  time = 24.763, size = 2886, normalized size = 12.6 \[ \text{Result too large to show} \]

Warning: Unable to verify antiderivative.

[In]

Integrate[(a + a*Sec[e + f*x])^(3/2)/(c + d*Sec[e + f*x])^2,x]

[Out]

((d + c*Cos[e + f*x])^2*Sec[(e + f*x)/2]^3*Sec[e + f*x]*(a*(1 + Sec[e + f*x]))^(3/2)*(((c - d)*Sin[(e + f*x)/2
])/(2*c^2*(c + d)) + (-(c*d*Sin[(e + f*x)/2]) + d^2*Sin[(e + f*x)/2])/(2*c^2*(c + d)*(d + c*Cos[e + f*x]))))/(
f*(c + d*Sec[e + f*x])^2) - (Sqrt[3 - 2*Sqrt[2]]*Cos[(e + f*x)/4]^2*(d + c*Cos[e + f*x])^2*(c*(3*c + d)*Ellipt
icF[ArcSin[Tan[(e + f*x)/4]/Sqrt[3 - 2*Sqrt[2]]], 17 - 12*Sqrt[2]] + 4*(c + d)^2*EllipticPi[-3 + 2*Sqrt[2], -A
rcSin[Tan[(e + f*x)/4]/Sqrt[3 - 2*Sqrt[2]]], 17 - 12*Sqrt[2]] + (c^2 - 3*c*d - 2*d^2)*(EllipticPi[-(((-3 + 2*S
qrt[2])*(c + d))/(3*c + 2*Sqrt[2]*Sqrt[c*(c - d)] - d)), -ArcSin[Tan[(e + f*x)/4]/Sqrt[3 - 2*Sqrt[2]]], 17 - 1
2*Sqrt[2]] + EllipticPi[((-3 + 2*Sqrt[2])*(c + d))/(-3*c + 2*Sqrt[2]*Sqrt[c*(c - d)] + d), -ArcSin[Tan[(e + f*
x)/4]/Sqrt[3 - 2*Sqrt[2]]], 17 - 12*Sqrt[2]]))*Sec[(e + f*x)/2]^3*((Cos[(e + f*x)/2]*Sqrt[Sec[e + f*x]])/(2*(c
+ d)*(d + c*Cos[e + f*x])) + (Cos[(3*(e + f*x))/2]*Sqrt[Sec[e + f*x]])/(4*(c + d)*(d + c*Cos[e + f*x])) + (d*
Cos[(3*(e + f*x))/2]*Sqrt[Sec[e + f*x]])/(4*c*(c + d)*(d + c*Cos[e + f*x])))*Sec[e + f*x]*(a*(1 + Sec[e + f*x]
))^(3/2)*Sqrt[1 + (-3 + 2*Sqrt[2])*Tan[(e + f*x)/4]^2]*Sqrt[1 - (3 + 2*Sqrt[2])*Tan[(e + f*x)/4]^2])/(c^2*(c +
d)^2*f*(c + d*Sec[e + f*x])^2*((Sqrt[3 - 2*Sqrt[2]]*(3 + 2*Sqrt[2])*(c*(3*c + d)*EllipticF[ArcSin[Tan[(e + f*
x)/4]/Sqrt[3 - 2*Sqrt[2]]], 17 - 12*Sqrt[2]] + 4*(c + d)^2*EllipticPi[-3 + 2*Sqrt[2], -ArcSin[Tan[(e + f*x)/4]
/Sqrt[3 - 2*Sqrt[2]]], 17 - 12*Sqrt[2]] + (c^2 - 3*c*d - 2*d^2)*(EllipticPi[-(((-3 + 2*Sqrt[2])*(c + d))/(3*c
+ 2*Sqrt[2]*Sqrt[c*(c - d)] - d)), -ArcSin[Tan[(e + f*x)/4]/Sqrt[3 - 2*Sqrt[2]]], 17 - 12*Sqrt[2]] + EllipticP
i[((-3 + 2*Sqrt[2])*(c + d))/(-3*c + 2*Sqrt[2]*Sqrt[c*(c - d)] + d), -ArcSin[Tan[(e + f*x)/4]/Sqrt[3 - 2*Sqrt[
2]]], 17 - 12*Sqrt[2]]))*Sqrt[Sec[e + f*x]]*Tan[(e + f*x)/4]*Sqrt[1 + (-3 + 2*Sqrt[2])*Tan[(e + f*x)/4]^2])/(4
*c^2*(c + d)^2*Sqrt[1 - (3 + 2*Sqrt[2])*Tan[(e + f*x)/4]^2]) - (Sqrt[3 - 2*Sqrt[2]]*(-3 + 2*Sqrt[2])*(c*(3*c +
d)*EllipticF[ArcSin[Tan[(e + f*x)/4]/Sqrt[3 - 2*Sqrt[2]]], 17 - 12*Sqrt[2]] + 4*(c + d)^2*EllipticPi[-3 + 2*S
qrt[2], -ArcSin[Tan[(e + f*x)/4]/Sqrt[3 - 2*Sqrt[2]]], 17 - 12*Sqrt[2]] + (c^2 - 3*c*d - 2*d^2)*(EllipticPi[-(
((-3 + 2*Sqrt[2])*(c + d))/(3*c + 2*Sqrt[2]*Sqrt[c*(c - d)] - d)), -ArcSin[Tan[(e + f*x)/4]/Sqrt[3 - 2*Sqrt[2]
]], 17 - 12*Sqrt[2]] + EllipticPi[((-3 + 2*Sqrt[2])*(c + d))/(-3*c + 2*Sqrt[2]*Sqrt[c*(c - d)] + d), -ArcSin[T
an[(e + f*x)/4]/Sqrt[3 - 2*Sqrt[2]]], 17 - 12*Sqrt[2]]))*Sqrt[Sec[e + f*x]]*Tan[(e + f*x)/4]*Sqrt[1 - (3 + 2*S
qrt[2])*Tan[(e + f*x)/4]^2])/(4*c^2*(c + d)^2*Sqrt[1 + (-3 + 2*Sqrt[2])*Tan[(e + f*x)/4]^2]) + (Sqrt[3 - 2*Sqr
t[2]]*Cos[(e + f*x)/4]*(c*(3*c + d)*EllipticF[ArcSin[Tan[(e + f*x)/4]/Sqrt[3 - 2*Sqrt[2]]], 17 - 12*Sqrt[2]] +
4*(c + d)^2*EllipticPi[-3 + 2*Sqrt[2], -ArcSin[Tan[(e + f*x)/4]/Sqrt[3 - 2*Sqrt[2]]], 17 - 12*Sqrt[2]] + (c^2
- 3*c*d - 2*d^2)*(EllipticPi[-(((-3 + 2*Sqrt[2])*(c + d))/(3*c + 2*Sqrt[2]*Sqrt[c*(c - d)] - d)), -ArcSin[Tan
[(e + f*x)/4]/Sqrt[3 - 2*Sqrt[2]]], 17 - 12*Sqrt[2]] + EllipticPi[((-3 + 2*Sqrt[2])*(c + d))/(-3*c + 2*Sqrt[2]
*Sqrt[c*(c - d)] + d), -ArcSin[Tan[(e + f*x)/4]/Sqrt[3 - 2*Sqrt[2]]], 17 - 12*Sqrt[2]]))*Sqrt[Sec[e + f*x]]*Si
n[(e + f*x)/4]*Sqrt[1 + (-3 + 2*Sqrt[2])*Tan[(e + f*x)/4]^2]*Sqrt[1 - (3 + 2*Sqrt[2])*Tan[(e + f*x)/4]^2])/(2*
c^2*(c + d)^2) - (Sqrt[3 - 2*Sqrt[2]]*Cos[(e + f*x)/4]^2*(c*(3*c + d)*EllipticF[ArcSin[Tan[(e + f*x)/4]/Sqrt[3
- 2*Sqrt[2]]], 17 - 12*Sqrt[2]] + 4*(c + d)^2*EllipticPi[-3 + 2*Sqrt[2], -ArcSin[Tan[(e + f*x)/4]/Sqrt[3 - 2*
Sqrt[2]]], 17 - 12*Sqrt[2]] + (c^2 - 3*c*d - 2*d^2)*(EllipticPi[-(((-3 + 2*Sqrt[2])*(c + d))/(3*c + 2*Sqrt[2]*
Sqrt[c*(c - d)] - d)), -ArcSin[Tan[(e + f*x)/4]/Sqrt[3 - 2*Sqrt[2]]], 17 - 12*Sqrt[2]] + EllipticPi[((-3 + 2*S
qrt[2])*(c + d))/(-3*c + 2*Sqrt[2]*Sqrt[c*(c - d)] + d), -ArcSin[Tan[(e + f*x)/4]/Sqrt[3 - 2*Sqrt[2]]], 17 - 1
2*Sqrt[2]]))*Sec[e + f*x]^(3/2)*Sin[e + f*x]*Sqrt[1 + (-3 + 2*Sqrt[2])*Tan[(e + f*x)/4]^2]*Sqrt[1 - (3 + 2*Sqr
t[2])*Tan[(e + f*x)/4]^2])/(2*c^2*(c + d)^2) - (Sqrt[3 - 2*Sqrt[2]]*Cos[(e + f*x)/4]^2*Sqrt[Sec[e + f*x]]*Sqrt
[1 + (-3 + 2*Sqrt[2])*Tan[(e + f*x)/4]^2]*Sqrt[1 - (3 + 2*Sqrt[2])*Tan[(e + f*x)/4]^2]*((c*(3*c + d)*Sec[(e +
f*x)/4]^2)/(4*Sqrt[3 - 2*Sqrt[2]]*Sqrt[1 - Tan[(e + f*x)/4]^2/(3 - 2*Sqrt[2])]*Sqrt[1 - ((17 - 12*Sqrt[2])*Tan
[(e + f*x)/4]^2)/(3 - 2*Sqrt[2])]) - ((c + d)^2*Sec[(e + f*x)/4]^2)/(Sqrt[3 - 2*Sqrt[2]]*Sqrt[1 - Tan[(e + f*x
)/4]^2/(3 - 2*Sqrt[2])]*Sqrt[1 - ((17 - 12*Sqrt[2])*Tan[(e + f*x)/4]^2)/(3 - 2*Sqrt[2])]*(1 - ((-3 + 2*Sqrt[2]
)*Tan[(e + f*x)/4]^2)/(3 - 2*Sqrt[2]))) + (c^2 - 3*c*d - 2*d^2)*(-Sec[(e + f*x)/4]^2/(4*Sqrt[3 - 2*Sqrt[2]]*Sq
rt[1 - Tan[(e + f*x)/4]^2/(3 - 2*Sqrt[2])]*Sqrt[1 - ((17 - 12*Sqrt[2])*Tan[(e + f*x)/4]^2)/(3 - 2*Sqrt[2])]*(1
+ ((-3 + 2*Sqrt[2])*(c + d)*Tan[(e + f*x)/4]^2)/((3 - 2*Sqrt[2])*(3*c + 2*Sqrt[2]*Sqrt[c*(c - d)] - d)))) - S
ec[(e + f*x)/4]^2/(4*Sqrt[3 - 2*Sqrt[2]]*Sqrt[1 - Tan[(e + f*x)/4]^2/(3 - 2*Sqrt[2])]*Sqrt[1 - ((17 - 12*Sqrt[
2])*Tan[(e + f*x)/4]^2)/(3 - 2*Sqrt[2])]*(1 - ((-3 + 2*Sqrt[2])*(c + d)*Tan[(e + f*x)/4]^2)/((3 - 2*Sqrt[2])*(
-3*c + 2*Sqrt[2]*Sqrt[c*(c - d)] + d)))))))/(c^2*(c + d)^2)))

________________________________________________________________________________________

Maple [B]  time = 1.636, size = 62283, normalized size = 272. \begin{align*} \text{output too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((a+a*sec(f*x+e))^(3/2)/(c+d*sec(f*x+e))^2,x)

[Out]

result too large to display

________________________________________________________________________________________

Maxima [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Timed out} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((a+a*sec(f*x+e))^(3/2)/(c+d*sec(f*x+e))^2,x, algorithm="maxima")

[Out]

Timed out

________________________________________________________________________________________

Fricas [A]  time = 30.3391, size = 4466, normalized size = 19.5 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((a+a*sec(f*x+e))^(3/2)/(c+d*sec(f*x+e))^2,x, algorithm="fricas")

[Out]

[1/4*(4*(a*c^2 - a*c*d)*sqrt((a*cos(f*x + e) + a)/cos(f*x + e))*cos(f*x + e)*sin(f*x + e) - (a*c^2*d - 3*a*c*d
^2 - 2*a*d^3 + (a*c^3 - 3*a*c^2*d - 2*a*c*d^2)*cos(f*x + e)^2 + (a*c^3 - 2*a*c^2*d - 5*a*c*d^2 - 2*a*d^3)*cos(
f*x + e))*sqrt(-a/(c*d + d^2))*log(((a*c^2 + 8*a*c*d + 8*a*d^2)*cos(f*x + e)^3 + a*d^2 + (a*c^2 + 2*a*c*d)*cos
(f*x + e)^2 + 4*((c^2*d + 3*c*d^2 + 2*d^3)*cos(f*x + e)^2 - (c*d^2 + d^3)*cos(f*x + e))*sqrt(-a/(c*d + d^2))*s
qrt((a*cos(f*x + e) + a)/cos(f*x + e))*sin(f*x + e) - (6*a*c*d + 7*a*d^2)*cos(f*x + e))/(c^2*cos(f*x + e)^3 +
(c^2 + 2*c*d)*cos(f*x + e)^2 + d^2 + (2*c*d + d^2)*cos(f*x + e))) + 2*(a*c*d + a*d^2 + (a*c^2 + a*c*d)*cos(f*x
+ e)^2 + (a*c^2 + 2*a*c*d + a*d^2)*cos(f*x + e))*sqrt(-a)*log((8*a*cos(f*x + e)^3 - 4*(2*cos(f*x + e)^2 - cos
(f*x + e))*sqrt(-a)*sqrt((a*cos(f*x + e) + a)/cos(f*x + e))*sin(f*x + e) - 7*a*cos(f*x + e) + a)/(cos(f*x + e)
+ 1)))/((c^4 + c^3*d)*f*cos(f*x + e)^2 + (c^4 + 2*c^3*d + c^2*d^2)*f*cos(f*x + e) + (c^3*d + c^2*d^2)*f), 1/4
*(4*(a*c^2 - a*c*d)*sqrt((a*cos(f*x + e) + a)/cos(f*x + e))*cos(f*x + e)*sin(f*x + e) - 4*(a*c*d + a*d^2 + (a*
c^2 + a*c*d)*cos(f*x + e)^2 + (a*c^2 + 2*a*c*d + a*d^2)*cos(f*x + e))*sqrt(a)*arctan(1/2*sqrt((a*cos(f*x + e)
+ a)/cos(f*x + e))*(2*cos(f*x + e) - 1)/(sqrt(a)*sin(f*x + e))) - (a*c^2*d - 3*a*c*d^2 - 2*a*d^3 + (a*c^3 - 3*
a*c^2*d - 2*a*c*d^2)*cos(f*x + e)^2 + (a*c^3 - 2*a*c^2*d - 5*a*c*d^2 - 2*a*d^3)*cos(f*x + e))*sqrt(-a/(c*d + d
^2))*log(((a*c^2 + 8*a*c*d + 8*a*d^2)*cos(f*x + e)^3 + a*d^2 + (a*c^2 + 2*a*c*d)*cos(f*x + e)^2 + 4*((c^2*d +
3*c*d^2 + 2*d^3)*cos(f*x + e)^2 - (c*d^2 + d^3)*cos(f*x + e))*sqrt(-a/(c*d + d^2))*sqrt((a*cos(f*x + e) + a)/c
os(f*x + e))*sin(f*x + e) - (6*a*c*d + 7*a*d^2)*cos(f*x + e))/(c^2*cos(f*x + e)^3 + (c^2 + 2*c*d)*cos(f*x + e)
^2 + d^2 + (2*c*d + d^2)*cos(f*x + e))))/((c^4 + c^3*d)*f*cos(f*x + e)^2 + (c^4 + 2*c^3*d + c^2*d^2)*f*cos(f*x
+ e) + (c^3*d + c^2*d^2)*f), 1/2*(2*(a*c^2 - a*c*d)*sqrt((a*cos(f*x + e) + a)/cos(f*x + e))*cos(f*x + e)*sin(
f*x + e) - (a*c^2*d - 3*a*c*d^2 - 2*a*d^3 + (a*c^3 - 3*a*c^2*d - 2*a*c*d^2)*cos(f*x + e)^2 + (a*c^3 - 2*a*c^2*
d - 5*a*c*d^2 - 2*a*d^3)*cos(f*x + e))*sqrt(a/(c*d + d^2))*arctan(1/2*((c + 2*d)*cos(f*x + e) - d)*sqrt(a/(c*d
+ d^2))*sqrt((a*cos(f*x + e) + a)/cos(f*x + e))/(a*sin(f*x + e))) + (a*c*d + a*d^2 + (a*c^2 + a*c*d)*cos(f*x
+ e)^2 + (a*c^2 + 2*a*c*d + a*d^2)*cos(f*x + e))*sqrt(-a)*log((8*a*cos(f*x + e)^3 - 4*(2*cos(f*x + e)^2 - cos(
f*x + e))*sqrt(-a)*sqrt((a*cos(f*x + e) + a)/cos(f*x + e))*sin(f*x + e) - 7*a*cos(f*x + e) + a)/(cos(f*x + e)
+ 1)))/((c^4 + c^3*d)*f*cos(f*x + e)^2 + (c^4 + 2*c^3*d + c^2*d^2)*f*cos(f*x + e) + (c^3*d + c^2*d^2)*f), 1/2*
(2*(a*c^2 - a*c*d)*sqrt((a*cos(f*x + e) + a)/cos(f*x + e))*cos(f*x + e)*sin(f*x + e) - (a*c^2*d - 3*a*c*d^2 -
2*a*d^3 + (a*c^3 - 3*a*c^2*d - 2*a*c*d^2)*cos(f*x + e)^2 + (a*c^3 - 2*a*c^2*d - 5*a*c*d^2 - 2*a*d^3)*cos(f*x +
e))*sqrt(a/(c*d + d^2))*arctan(1/2*((c + 2*d)*cos(f*x + e) - d)*sqrt(a/(c*d + d^2))*sqrt((a*cos(f*x + e) + a)
/cos(f*x + e))/(a*sin(f*x + e))) - 2*(a*c*d + a*d^2 + (a*c^2 + a*c*d)*cos(f*x + e)^2 + (a*c^2 + 2*a*c*d + a*d^
2)*cos(f*x + e))*sqrt(a)*arctan(1/2*sqrt((a*cos(f*x + e) + a)/cos(f*x + e))*(2*cos(f*x + e) - 1)/(sqrt(a)*sin(
f*x + e))))/((c^4 + c^3*d)*f*cos(f*x + e)^2 + (c^4 + 2*c^3*d + c^2*d^2)*f*cos(f*x + e) + (c^3*d + c^2*d^2)*f)]

________________________________________________________________________________________

Sympy [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \frac{\left (a \left (\sec{\left (e + f x \right )} + 1\right )\right )^{\frac{3}{2}}}{\left (c + d \sec{\left (e + f x \right )}\right )^{2}}\, dx \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((a+a*sec(f*x+e))**(3/2)/(c+d*sec(f*x+e))**2,x)

[Out]

Integral((a*(sec(e + f*x) + 1))**(3/2)/(c + d*sec(e + f*x))**2, x)

________________________________________________________________________________________

Giac [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Timed out} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((a+a*sec(f*x+e))^(3/2)/(c+d*sec(f*x+e))^2,x, algorithm="giac")

[Out]

Timed out